Revista Rosa

Volume 3

3

Poincaré, Kolmogorov e o Lance de dados1

Direção, Tom Vieira

Epidemiologia e climatologia: estes dois sistemas físicos seguem trajetórias imprevisíveis, ao mesmo tempo em que obedecem a leis de probabilidade que é possível calcular. São dois casos clássicos da “teoria do caos”, cujos fundamentos foram formulados pelo matemático Poincaré há mais de um século. Ele talvez tenha influenciado o imaginário de Mallarmé, autor de Um lance de dados jamais abolirá o acaso, e que foi seu amigo próximo. Como teria reagido o poeta diante dos céticos do clima e da covid-19?

Em meu livro Ressusciter quand même. Le matérialisme orphique de Stéphane Mallarmé [“Ressuscitar apesar de tudo. O materialismo órfico de Stéphane Mallarmé”], e em particular nos capítulos dedicados ao Lance de dados, apresento a hipótese de que as impressionantes intuições matemáticas de Stéphane Mallarmé resultaram em boa medida de suas conversas com Henri Poincaré. Não há provas disso em sua correspondência. Mas a inexistência de provas não é prova de uma inexistência. Insisti, acompanhando Jean-Luc Steinmetz, na tese de que não há nenhuma razão para que toda e qualquer troca de ideias ou fonte de inspiração de Mallarmé tivesse necessariamente de estar documentada em algum escrito, artigo publicado, caderno de anotações ou carta conhecida.

Basta pensar, por exemplo, na profunda influência de Alfred de Vigny manifesta no Lance de dados, onde o materialismo órfico de Mallarmé se desenvolve num diálogo implícito com o autor de La Maison du Berger [“A casa do pastor”]. Contudo, ele só é citado em duas minúsculas passagens — verdade que muito significativas — em todas as Obras completas e na imensa Correspondência completa de Mallarmé: “De Vigny, a quem cultuo” e “Henri de Régnier, que, como De Vigny, vive por lá, um pouco longe, no recolhimento e no silêncio, e diante de quem me inclino com admiração”. Do mesmo modo, Gérard de Nerval, pai do vocabulário do orfismo poético, não é absolutamente citado nos textos que conhecemos de Mallarmé… mas é saudado fraternalmente por meio de uma alusão no último verso do Guignon.

Mas este texto não trata do centro do Lance de dados, versão renovada do materialismo órfico, e sim apenas a seu imaginário matemático. O que sabemos? Que Poincaré era um frequentador habitual das Terças-feiras de Mallarmé.2 No período entre a publicação do Lance de dados e a morte de Mallarmé, em 1898, ele realizava pesquisas justamente sobre a imprevisibilidade de acontecimentos que todavia se pensava submetidos ao determinismo laplaciano. Era a origem daquilo que no fim do século seguinte seria chamado de “teorias do caos”, mais precisamente do “caos determinista”.

O caos dos matemáticos não é o “abismo”, do Lance de dados, mas o “imprognosticável”, conceito proposto por Poincaré. O imprognosticável continua a ser balizado, contudo, pelas leis probabilísticas. Quando o tema se popularizou no Ocidente, no fim do século seguinte, as Éditions du Seuil publicaram, por exemplo, uma coletânea de artigos (razoavelmente difíceis para os não matemáticos): Chaos et déterminisme [“Caos e determinismo”].3 Todos os artigos começam com uma homenagem ao pensamento fundador de Poincaré, em oposição a Pierre-Simon de Laplace (mas com um interessante estudo que relativiza o determinismo deste último). Tentarei resumir os ensinamentos deste e de alguns outros livros, do modo mais literário possível, sempre com vistas à compreensão de Mallarmé.

O caos determinista

De que se trata? Da ideia de que o real, um movimento de dado, de moeda jogada para o alto, de bola de bilhar, pode obedecer a leis perfeitamente deterministas, no caso, as de Newton, e mesmo assim continuar imprevisível.

Antes de tudo, é preciso abrir um parêntese: o que quer dizer “realista”? Como oposição a “idealista”, esse conceito talvez seja preferível a “materialista” (pois hoje em dia o termo “matéria” se dissolve em energia e nos campos). Seguindo a linha de Platão, o idealista pensa que as leis físicas são a realidade fundamental, no mundo das ideias, e mais precisamente no da matemática, e que os fenômenos exteriores percebidos por nós, no âmbito da “matéria”, nada mais fazem senão acompanhá-las de forma aproximativa, como o reflexo de uma lanterna mágica nas paredes de uma caverna. O realista materialista pensa, ao contrário, que as leis físicas descritas em um mundo da matemática (o das equações diferenciais de Newton, num espaço em que as linhas e os pontos não têm espessura, e onde podemos conhecer ao mesmo tempo sua posição e seu movimento com infinita precisão) são apenas uma abstração, uma simplificação, uma idealização justamente, da realidade física (matéria, energia, onda — para as teorias científicas aceitas no começo do século XXI, que admitem a transmutação recíproca da energia e da matéria, além da dualidade ondas-partículas).

As leis matemáticas da física são totalmente deterministas, mas será que isso torna possível fazer previsões sobre o que vai acontecer realmente? Em geral, pensamos que sim, e os materialistas concordam, pois se bem ou mal conhecemos as condições iniciais (a velocidade e a posição dos pontos que representam os objetos materiais), então a trajetória dos dados, das moedas ou das bolas de bilhar será aproximadamente a que tínhamos calculado, e com mais razão isso se aplica à trajetória dos planetas, dos raios laser, dos aviões… Esta é, de algum modo, a suprema ambição da ciência: prever o que acontecerá graças às leis que a realidade “segue” — e assim poder aplicá-las de maneira confiável na construção de máquinas.

Disso resulta (e Laplace, Einstein e Schrödinger, que empregam leis diferentes em espaços matemáticos diferentes, concordam nesse ponto) que a “flecha do tempo” não passa de ilusão: nós é que descobrimos aos poucos um mundo em que tudo já está escrito pelas leis da natureza desde sempre. Mesmo a equação de Schrödinger, base da mecânica quântica, descreve de modo determinista a evolução de uma distribuição de probabilidades e é reversível no tempo, incluindo, para Schrödinger e Einstein, “o colapso do psi” (aquilo que acontece no momento de uma medida). Mas, para que isso tenha um significado físico, é preciso que exista aquela continuidade entre as “condições iniciais” e a “trajetória posterior” (ou melhor, anterior, pois nessa concepção o tempo é reversível e pode, assim como o espaço, ser percorrido em qualquer direção): uma pequena imprecisão nas primeiras só acarreta uma pequena diferença na outra.

Com efeito, é isso o que acontece na maior parte das atividades técnicas. Não hesitamos ao atravessar uma ponte ou pegar um avião, mesmo se tivermos lido que acidentes acontecem em decorrência de “instabilidades”. O caráter probabilista da mecânica quântica (em sua interpretação predominante) não nos impede de construir máquinas de precisão impressionante, como as de diagnóstico por ressonância magnética.

Poincaré demonstrou — e isso foi uma revolução — que nem sempre é assim. O real nem sempre é previsível, simplesmente porque essa continuidade entre as condições iniciais e as trajetórias que dela decorrem não está de modo nenhum assegurada. É o problema da “instabilidade”, da “sensibilidade face às condições iniciais”.

Resulta que, mesmo conhecendo e calculando a atração mútua do Sol e de todos os planetas e asteroides, o que podemos fazer graças a nossos computadores (computadores que, como o real, e porque são materiais, sempre fazem seus cálculos com “arredondamentos”), não podemos prever exatamente qual será a órbita da Terra dentro de uma centena de séculos. Não estamos cem por cento certos de que o grande asteroide Apophis, identificado como o “geocruzador” que mais nos ameaça, não vá entrar em colisão com nosso planeta em 2036 (para 2029 o risco parece ter sido afastado). E quando se pensa que a estabilidade do sistema solar nem de longe está assegurada, e que os seus maiores planetas conheceram um distanciamento uns dos outros há 900 milhões de anos…

Exemplos concretos? Não utilizemos o do lançamento de um dado: seu movimento num espaço de três dimensões, mesmo idealizado, já é tão complexo (“movimento de Poinsot”) que só o mais hábil dos jogadores trapaceiros se arriscaria a considerar determinista. Tomemos o bilhar, jogo que tem como princípio a precisão que se imprime às condições iniciais (posição e velocidade orientada para uma direção). O jogo de bilhar seria supostamente infalível; nós o descrevemos num plano de duas dimensões. O pano verde é perfeitamente plano, as bolas rolam sem atrito, sem perda de energia, e são perfeitamente esféricas, perfeitamente elásticas. Com uma tacada perfeita, impulsiono uma bola apontando para outra situada perfeitamente no meu eixo. Elas batem uma na outra no ponto perfeito do eixo visado.

Infelizmente, toda essa “perfeição” só existe idealmente. Na realidade, o mais infinitesimal desvio no ângulo da minha tacada com relação ao eixo fará com que as bolas colidam um pouquinho para a esquerda, ou um pouquinho para a direita. E essa divergência, essa incerteza radical, irá amplificar-se na medida em que minha bola bata em outras bolas, ou em algum pino da mesa.4 Basta que a bola bata numa superfície convexa para que a divergência das trajetórias se amplifique. No final, as trajetórias possíveis terminam ocupando, pelo acaso, todo o espaço que as descreve (o espaço das fases), mas respeitam leis mesmo assim: as leis do acaso.

E também é preciso levar em conta o campo de gravidade de todas as outras bolas… e dos espectadores. Totalmente desprezível? No mundo das ideias, sem dúvida. Mas no plano da realidade, mesmo idealizada nos termos acima, se nove bolas rolam na mesa, já é necessário considerar a posição dos espectadores na sala: se eu mudo de lugar, modifico as trajetórias. É o famoso “efeito borboleta”: o bater de asas de uma borboleta é suficiente para mudar de lugar um furacão no golfo do México alguns dias depois —conforme a feliz formulação do criador de modelos meteorológicos Edward Lorenz, que redescobriria os trabalhos de Poincaré na década de 1960.

Isto nos remete à “dialética do observador e do observado”, cara à mecânica quântica (mas antes notada na mecânica dos fluidos turbulentos: para estudar os redemoinhos numa corrente, é preciso mergulhar nela instrumentos de medida que, eles próprios, criam redemoinhos). Hoje sabemos bem, depois dos delírios iniciais, que essa dialética na verdade não tem nada de psicológico ou de espiritualista. As leis da mecânica quântica continuam verdadeiras, com certeza, num laboratório automático instalado na Lua: o “observador” é esse laboratório. E na frente do bilhar podemos substituir os espectadores por bonecos com o mesmo peso. Entretanto, eu posso decidir mudar de posição ou ficar no mesmo lugar, conforme leis neurocognitivas que talvez venham a ser, no futuro, consideradas deterministas — mas continuarão a ser imprevisíveis. Posso ficar no mesmo lugar porque o bilhar não me interessa, ou porque prefiro observar com o canto dos olhos alguma pessoa interessante da sala, ou posso me mexer para enxergar melhor a mesa, ou a pessoa interessante, ou porque cansei de ficar de pé na mesma posição.

Não me refiro a uma “pessoa interessante” para fazer charme. Na tradição literária francesa, é lugar-comum falar dos “jogos do amor e do acaso” como desencadeadores do efeito-borboleta. Para um dos fundadores da teoria das probabilidades, Blaise Pascal, “se o nariz de Cleópatra fosse mais curto, toda a face do mundo teria mudado”.

Tradição francesa? Lance de dados e amor num relance estão na raiz de toda a literatura indo-europeia: o jogo de dados entre os Pandava e os Kaurava no Mahabarata, o concurso de beleza entre as três deusas, com o julgamento de Páris, nos Cantos Cipriotas que estão na origem da Ilíada — ambos foram causa de uma guerra apocalíptica envolvendo homens e deuses. As espantosas semelhanças entre essas duas epopeias permitem supor que o ciclo troiano e os cantos mais antigos do Mahabarata surgiram de um mesmo fundo de lendas indo-europeias. É especialmente interessante que a aproximação mais nítida se coloque entre Ulisses e Arjuna, dois reis no exílio que reconquistam suas esposas vencendo outros pretendentes num concurso de arco e flecha. Isto é, graças a um domínio perfeito sobre a trajetória desejada. Mas uma flecha que acerta o alvo jamais abolirá o acaso: continuamos a dar voltas no mesmo lugar.

A escola francesa e a escola russa

Pelo menos a bolinha girando no círculo da roleta segue uma trajetória “estável”: uma pequena modificação inicial não distanciará demais a bolinha de sua trajetória cíclica. É o que chamamos de estabilidade de Lyapunov. Exatamente nos anos em torno do famoso ano de 1898, Alexei Lyapunov formula, em paralelo com as descobertas de Poincaré, seus teoremas fundamentais sobre a trajetória dos sistemas dinâmicos e a teoria das probabilidades. A ideia estava de fato no ar: o mesmo ano fatídico de 1898, o do Lance de dados, vê ainda a publicação de um artigo do matemático francês Jacques Hadamard (modelo do cientista Cosinus, “dreyfusard” e racionalista, ele morrerá muito velho e a favor da “linha chinesa”, e iria demonstrar muitos teoremas dormindo).

Seu artigo trata de superfícies como as selas de cavalo e os diabolôs (cujos nomes científicos, respectivamente, são “paraboloide hiperbólica” e “hiperboloide de revolução”), superfícies denominadas “hiperbólicas”, ou de curvatura negativa. Contrariamente às esferas, cujo plano tangente em cada ponto deixa a esfera inteira num lado só, os planos tangentes das superfícies hiperbólicas necessariamente cortam a superfície. Hadamard se interessa pela geodésica, ou seja, o caminho mais curto entre um ponto e outro de uma superfície (a linha reta, num plano, um grande círculo, na esfera). Será também a trajetória de um ponto material, submetido a nenhuma outra força ou obstáculo a não ser o de rolar sobre uma determinada superfície, “por inércia”, portanto. Será esta a trajetória dos pontos materiais na relatividade geral de Einstein, em que a gravitação universal se exerce ao deformar o espaço-tempo cada vez mais, na velocidade da luz, e não como uma força instantânea que se exerce a distância, como em Newton (daí a existência das famosas ondas de gravidade, mas estou saindo do assunto).

Em síntese, Hadamard demonstra que existem trechos da superfície hiperbólica em que as trajetórias que correspondem às condições iniciais próximas se mantêm próximas, e outras em que, para todo ponto, existem pontos infinitamente próximos a partir dos quais as trajetórias divergem completamente. Aí, nada pode ser previsto em termos físicos a respeito do que irá se passar, pois todo ponto material tem uma espessura, por menor que seja. Hadamard abre assim, para os sucessores de Poincaré, um imenso campo de jogos.

Depois dessa brilhante estreia da escola francesa, Poincaré não iria ter, contudo, nenhum grande sucessor no Ocidente (com exceção de G. D. Birkhoff), até a redescoberta das instabilidades, das bifurcações e do caos por Stephen Smale, Edward Lorenz e (em outro sentido) René Thom, que com o químico Ilya Prigogine, irão encarregar-se a partir dos anos 1970 de criar a partir daí um novo paradigma para as pessoas de maior cultura.

Enquanto isso, a teoria do caos se desenvolve imensamente junto aos sucessores soviéticos de Lyapunov, como Antonov, Krylov e Pontryagin, até chegar a uma grande fermata: a obra monumental de Andrei Nicolaievitch Kolmogorov e seus alunos, dentre eles Yakov Sinai, o homem das mesas de bilhar com bordas convexas, que devem ser pensadas, demonstra ele, como superfícies hiperbólicas. É seu artigo de 1970 a esse respeito, aliás, que irá relançar a moda do caos no Ocidente: é preciso encontrar o tom certo para vender ao público uma teoria matemática (como a “teoria das catástrofes” de René Thom).

Em sua contribuição para o livro Chaos et Déterminisme [“Caos e determinismo”], “Os caminhos do caos determinista na escola russa”, Simon Diner conclui com a questão inevitável: qual a razão desse interesse na União Soviética stalinista? Ele admite haver uma certa relação entre essa cultura matemática e a filosofia da práxis, o materialismo dialético, até mesmo o mais vulgar (o “diamat”). Além de uma orientação para a ciência aplicada (a termodinâmica do não equilíbrio e a dinâmica dos fluidos reais, essas “ciências de engenheiro”), ele reconhece a existência de um “neomecanicismo emergentista”, não reducionista; uma abordagem realista do aleatório: o tempo importa, o real tem uma espessura, tudo repercute em tudo, o todo tem leis diferentes das da parte, as coisas nascem, desenvolvem-se e se dissolvem, a escala e a direção em relação ao observador são importantes…

Que relações existem entre esses dois faróis, Poincaré e Kolmogorov, e o Lance de dados de Mallarmé? Um pouco mais de paciência. Primeiro, dois prolongamentos.

A razão, o acaso e os tempos criadores

Já podemos compreender melhor por que a trajetória de um dado (ou de uma moeda no jogo de cara ou coroa), ainda que obedecendo a leis deterministas a cada momento, produz resultados “ao acaso”: a instabilidade da tacada inicial, e cada rebatida na mesa, é total. Isto não impede que as “leis do acaso” estejam em vigor. Lembremos o apólogo das duas pulgas e dos cachorros do casal Ehrenfest, contado em Ressusciter quand même: estamos certos de que, depois de um “tempo de relaxamento”, as pulgas, inicialmente reunidas no cachorro Azor, e pulando ao acaso entre os dois cães, irão distribuir-se ao acaso, mas numa quantidade igual, entre o cão Azor e o cão Babar, sendo possível calcular com precisão a probabilidade de qualquer desvio face a essa distribuição central. Ilya Prigogine, em La Fin des Certitudes [“O fim das certezas”] (Odile Jacob, 1996), chegará ao ponto de estabelecer um princípio: quanto mais imprognosticável forem as trajetórias individuais, mas solidamente asseguradas serão as leis de probabilidade a governá-las.

Exemplo: o dado. Temos certeza de que a probabilidade de ele parar numa das faces de 1 a 6 é a mesma. Para isso, não precisamos calcular a soma de todas as trajetórias possíveis (como se faz na mecânica quântica, seguindo R. Feynman). Os resultados de um lance de dados são equiprováveis, uma vez que, se o dado é perfeitamente simétrico, não há nenhuma razão para que uma face seja privilegiada. Notemos a curiosa relação de causalidade a emergir daí: a razão para isso é que “não há nenhuma razão para que…” Isso contradiz abertamente a visão dominante da “causa eficiente” de Leibnitz. Seria mais uma forma de causalidade estrutural, e mesmo de simples bom senso — o “princípio” empírico de Pasteur: causas simétricas produzem resultados simétricos. É a mesma razão que me leva a responder à questão ontológica de “por que existe alguma coisa em vez de nada?” com uma resposta desabusada: “não existe razão nenhuma na verdade, e, portanto, havia uma chance em duas de não existir nada, nem Deus nem Big Bang, mas nessa hipótese não estaríamos aqui para fazer a pergunta.”

Eis o fugaz ponto de contato entre o caos matemático, o vazio dos físicos, e o Abismo do Lance de dados. O vazio está cheio de potencialidades e continua a estar quando o existente se dissolve no nada; se quisermos um Vazio sem potencialidade de engendrar o ser, será então necessário construí-lo expressamente para isto, como o “vazio compactado” [“vide comprimé”] (que não engendra partículas físicas) que se injeta nos laboratórios de detecção de ondas gravitacionais.

Segunda consequência da revolução de 1898: a redescoberta do papel criador do tempo e do acaso. “Redescoberta”… para os teóricos da física matemática: o resto da humanidade nunca teve dúvidas disso, estando pronta a atribuir esse papel a Deus ou às Parcas. Os trabalhos de Poincaré, de resto, foram parcialmente inspirados pela ideia do físico Boltzmann, que fundamenta a flecha do tempo no crescimento inevitável, exceto localmente, da entropia, da distribuição do acaso. Ainda aqui, estamos diante do que “estava no ar” na época de Mallarmé, naquele “fim de século (XIX)”, e que seria poucos anos mais tarde ilustrado pelo filósofo Henri Bergson: o tempo é criador, existe evolução, ideia igualmente compartilhada por Darwin e Marx.

Percebe-se aqui o absoluto contrassenso que há em censurar o segundo versículo de Mallarmé: “nada terá lugar a não ser o lugar/ excetuada talvez uma constelação”. Sem o Lance de dados, sem a obra de Poincaré, de Einstein ou de Schrödinger, de Kolmogorov e de Prigogine, essas constelações nascidas de um lance de dados (pois “Todo pensamento emite um lance de dados”), a cultura contemporânea não seria a mesma. Sem as miríades de mutações do acaso, e sua seleção natural depois de que se formaram, por acaso, as primeiras moléculas orgânicas, não existiria aliás nenhuma forma de inteligência viva — se bem que nada as predestinava a adquirir nossa fisionomia.

Vimos que o tempo de relaxamento “fora do equilíbrio” do salto aleatório das pulgas entre os dois cachorros chega a um equilíbrio: a distribuição igual. Sempre será possível que um dia todas as pulgas voltem ao cão Azor, e que um macaco datilógrafo produza por acaso a frase “um lance de dados jamais abolirá o acaso”. Isso acontecerá necessariamente, e ainda uma infinidade de vezes… mas ao fim de diversos ciclos de existência do universo. Mas pelo menos estamos certos da existência desse “polo de atração” em que as pulgas se encontram quase sempre: a repartição igual entre os dois cachorros. O tempo de relaxamento (antes que esse equilíbrio seja atingido) não parece exercer nenhum papel nisso.

Mas nem de longe esse é o caso geral! Mudemos a regra do jogo. Como é difícil manipular pulgas, utilizaremos bolas dentro de uma urna. Começamos com duas, uma preta e uma branca, no fundo da urna. Tiramos uma bola ao acaso, vemos que cor ela tem, e a devolvemos à urna, acrescentando outra bola da mesma cor. E começamos de novo. Suponhamos que a primeira bola a ser tirada fosse branca. Da segunda vez, já temos duas vezes mais chance de tirar uma branca em vez da preta, mas a relação entre as bolas não vai necessariamente se estabilizar em “dois terços de brancas”. Mesmo assim, contatamos que a proporção das bolas brancas se estabiliza com bastante rapidez (eis um bom exercício, que quando na minha juventude eu fazia com minha calculadora HP programável, e hoje com um microcomputador de baixo preço que tenha um gerador de pseudoaleatoriedade). Com efeito, a proporção entre bolas pretas e brancas na urna determina a probabilidade de se tirar uma bola de determinada cor, mas a bola suplementar que se acrescenta cada vez modifica cada vez menos essa proporção.

Pois bem… demonstrou-se que a proporção que se estabiliza pode ser qualquer uma! Todas as proporções de bolas brancas, todos os números racionais entre zero e um, são equiprováveis. Tudo depende apenas da história das retiradas aleatórias, na qual as primeiras retiradas têm evidentemente uma importância maior; contudo, a proporção de 2/3 e 1/3 não é privilegiada, pois é possível tirar em seguida uma série de várias bolas brancas, ou pretas, que neutralizam o ponto de partida. Aqui, o “polo de atração” não é tão espetacular quanto o que determina o surgimento de uma constelação, nem mesmo o da distribuição igualitária das pulgas nos dois cachorros: é simplesmente a probabilidade igual de todas as distribuições finais possíveis. As leis da probabilidade se impõem, mas não ditam nada de especial sobre o tempo e o acaso: são as retiradas sucessivas que “decidem”. Se o equilíbrio se fixa num número que não teria como ser outro (707 bolas brancas em 1000, segundo a interpretação do Lance de dados por Quentin Meillassoux), isso é por acaso!

Aqui, o longo do tempo de relaxamento anterior ao equilíbrio (ou melhor, ao longo da duração, diria Bergson), surge uma estrutura do acaso: a proporção de bolas brancas. Com o químico Prigogine e sua escola, aprenderemos que esse papel criador do tempo e do acaso é universal — o que, mais uma vez, não impede que exista o acaso com suas leis. Marx e Engels compreenderam bem isso: a miríade de opiniões e decisões individuais é como o movimento desordenado das partículas do ar, e um burguês como Engels pode ter a visão de mundo de um proletário comunista: mas o movimento geral dessas partículas de ar (o vento) se organiza, por sua vez, conforme as leis da hidrodinâmica (a equação de Navier-Stokes). Do mesmo modo, estatisticamente o pertencimento a uma classe determina a consciência de classe — o que não impede os homens de fazerem a própria história, a qual tem uma imaginação infinitamente maior que a nossa.

Movimentos “ao acaso” (mas com regras simples de interação) nascem de cupinzeiros gigantescos e de ciclones. As imagens de satélite da Terra, e melhor ainda as de Júpiter, mostraram-nos a força terrível e magnífica, comparável à das revoluções humanas, dessa auto-organização da atmosfera entre a camada quente do oceano e a camada fria da estratosfera: os ciclones, mesmo se formados pelo bater de asas de uma borboleta, têm sempre a mesma aparência.

O que Mallarmé compreendeu

Diferentemente do cupim mais habilidoso e do mais perfeito dos ciclones, Mallarmé foi capaz de, conscientemente, “reduzir o acaso verso a verso” (mas se encararmos o cérebro de Mallarmé como uma rede de neurônios, voltamos à questão anterior). Que leitura ele faz, consciente ou inconscientemente, de Poincaré… ou teria feito de Kolmogorov? Uma leitura necessariamente poética e não matemática: ele “desfruta de suas leituras [científicas ou filosóficas], mais do que as estuda”, como confessou a Villiers de l’Isle-Adam. Precisamos, todavia, de pontes entre as austeras demonstrações da matemática e a “medula substantífica” que é útil a um poeta, e a coletânea Chaos et déterminisme vem a propósito para nos ajudar.

Em seu artigo “O aleatório do não aleatório”, Yakov Sinai começa por admitir: “as leis da estatística se manifestam em sistemas cuja dinâmica possui um caráter instável. H. Poincaré deve, sem dúvida, ser considerado o pai da ideia da ligação entre instabilidade e estatística.” Ou seja, exatamente a tradução matemática do verso-título Um lance de dados jamais abolirá o acaso. Repito, e sublinho: as conversas com Poincaré inspiraram, tanto quanto o “culto” a Alfred de Vigny, a escrita do Lance de dados.

Yakov Sinai prossegue: “a compreensão contemporânea [no fim do século XX] da ligação entre instabilidade e estatística teve início após a introdução das ideias e dos métodos provenientes da teoria da informação [a de C. Shannon, 1949]. Um papel de fundamental importância foi exercido pelo trabalho de A. N. Kolmogorov em 1958, em que pela primeira vez se descobriu uma relação com a teoria da informação.” Assim, não foi em Poincaré que Mallarmé chegou a intuir que o poeta reduz o acaso verso a verso (algo que identifico a uma premonição da teoria de Shannon). Poincaré poderia ter chegado a isso, pois já tinha todas as cartas na mão; mas na verdade o maior matemático francês já tinha deixado passar outras oportunidades: por pouco, não teria sido o pai da relatividade restrita. O poeta Mallarmé estava mais bem armado do que ele, como [diria] seu herdeiro Paul Éluard: “Crias bolhas de silêncio no deserto dos ruídos”.

Andrei Nicolaievitch não parou por aí. Em seu artigo sobre a escola russa, Simon Diner lembra que, depois de ter relacionado a instabilidade dinâmica com a teoria das probabilidades (prolongando Poincaré), de ter mais tarde relacionado ambas à entropia (prolongando Boltzmann e a mecânica estatística) e ainda à teoria da informação (prolongando Shannon), Kolmogorov, em 1962–63, lança uma nova ponte no rumo de uma área totalmente desconhecida por seus predecessores: a complexidade algorítmica.

Um algoritmo é um procedimento sistemático que serve para calcular números. A divisão que aprendemos na escola é um algoritmo (“façamos a divisão de 5172 por 6. Quantas vezes cabe o 6 no número 51? 6 × 8 = 48, e 6 × 9 seria um número grande demais. Considero então que o 6 aparece 8 vezes, ponho 8 no quociente e sobram 3; abaixo o algarismo seguinte do dividendo, o 7, e recomeço: quantas vezes cabe o 6 no 37? …”) Vale recordar que “algoritmo” é uma deformação do nome do persa Al-Kwarismi, inventor da álgebra (palavra que, por sua vez, deriva do título de seu livro) e contemporâneo de Carlos Magno “que inventou a escola”: não é nenhum conceito novo!

Por muito tempo, esses procedimentos se mantiveram no campo da técnica, da cozinha básica dos matemáticos e dos físicos. Na minha juventude, fazíamos ainda contas à mão, com ajuda de um livro chamado “tábua de logaritmos”. Mas a invenção dos computadores, que nos dão na hora séries de números que levaríamos meses, até anos, para calcular, abriu a porta para uma teoria dos algoritmos, base intelectual dos programas de computador. Será que algoritmos convergem, se o cálculo se dá por aproximações sucessivas? Será que param sozinhos, quando se aproximam o bastante do resultado, ou entram em círculo vicioso? Existirá um programa mais curto do que outros para chegar no resultado?

A resposta a essa última questão é precisamente a da “complexidade algorítmica”. Por exemplo, uma sequência de números tomados ao acaso não pode ser objeto de um programa mais curto do que seria o de simplesmente… escrevê-los. Ora, o objetivo da ciência, como já foi dito, é prever o que irá acontecer graças a leis já conhecidas, ou seja, no caso estaríamos procurando formular um programa antes de conhecer o resultado, a sequência de números. Existe, portanto, uma ligação intrínseca entre um “caráter mais aleatório ou menos aleatório” (instabilidades mais ou menos reguladas pela estatística e pelas leis da informação) do resultado e o programa para obtê-lo: a complexidade algorítmica.

Evidentemente, esse gênero de preocupações escapava a Poincaré, a quem devemos o deslocamento da matemática na direção da pesquisa sobre o qualitativo (a analysis sitis). O que constitui, na verdade, mais uma escapatória face à complexidade dos cálculos que, três quartos de século depois, os computadores enfrentarão corajosamente.

E Stéphane Mallarmé? Obviamente, tampouco ele sabia da complexidade algorítmica. Mas afinal… se quisermos assumir que somos mais realistas do que o rei, cabe citar: “o único número que não conseguiria ser outro”… “se fosse o número… seria o acaso”. Ainda mais se calculamos duas vezes, à moda de Quentin Meillassoux: contando o número de palavras do poema (dá trabalho), e numa chave simbólica, a partir de uma charada no meio do poema. A saber, 707, o número do materialismo órfico.

E o caos no fim do século XX?

Não é totalmente correto dizer que as descobertas de Poincaré e Hadamard, em 1898, foram esquecidas com o advento do século XX. Era a época em que os matemáticos se esbaldavam no “paraíso que Cantor lhes tinha aberto” (Hilbert) com sua teoria ingênua dos conjuntos, que lhes permitia finalmente compreender a infinitude dos infinitos. Lá eles descobriram uma fauna selvagem, conjuntos que tinham a força de um contínuo, mas de dimensão igual a zero (extensão, superfície ou volume), como o conjunto triádico de Cantor, os tapetes de Sierpinski, as esponjas de Menger… Mas esse paraíso lhes foi logo fechado pelos paradoxos de Russell: era a “crise dos fundamentos”. Foi necessário empreender, conforme um esquema bem “órfico”, uma refundação austera, axiomática, da matemática, com Von Neumann, Bourbaki e associados, de modo a reconstruir o Éden que se perdera — só que de outro modo.

Outros matemáticos se puseram a serviço das duas revoluções da física, a teoria da relatividade e a física quântica: o próprio Hilbert, ou, por pouco tempo mas de forma decisiva, a imensa Emmy Noether, judia e espartaquista. Como muitos outros, com a chegada do nazismo ela se refugiou nos Estados Unidos: foi este o grande início da matemática e da física americana. Já não havia lugar no Ocidente para as pesquisas sobre a instabilidade e o acaso, que foram abandonadas aos matemáticos soviéticos.

Contudo, nas duas primeiras décadas do século XX, dois discípulos de Poincaré e Hadamard, Pierre Fatou e Gaston Julia (que seria uma figura acadêmica com tão pouco resistente quanto Jérôme Carcopino5), exploram o espaço das “condições iniciais” para funções bem simples. Seus mestres haviam demonstrado que, dada uma ínfima diferença de partida, algumas funções dirigiam sua trajetória para um ponto de equilíbrio, outras para um ciclo ou quase-ciclo, outras para o infinito. E então constatam, com estupefação, que as zonas de onde partem essas trajetórias para o infinito estão separadas das zonas de trajetórias restritas por uma fronteira (a “fronteira de atração do infinito”) de beleza siderante, desenhada com uma infinidade de detalhes, que viria a ser chamada de fractal: estrelas do mar com caudas de cavalo-marinho, poeira de estrelas de Cantor, elas próprias com a forma de flocos de neve, interligadas por filamentos: esplêndidas imagens galácticas, fogos de artifício. Hoje em dia são desenhadas por computador, e têm o nome de “conjunto de Julia”, mas na Wikipedia é no verbete “Pierre Fatou” que se encontram maravilhosas imagens animadas. Mallarmé teria adorado.

Quarenta anos depois, Stephen Smale, ativista “flower power” contra a guerra do Vietnã, redescobre Poincaré e resolve alguns dos problemas mais difíceis contra os quais o francês se debatera. Bem depressa, coortes de matemáticos muito jovens descobrem nas universidades aquele campo a ser cultivado; só que agora eles dispunham da famosa calculadora programável HP da minha juventude, e se agregam aos poderosos centros de cálculo de suas universidades, relançando em definitivo a teoria do caos. Um caos que eles percorrem pela primeira vez na qualidade de “exploradores”, com o cálculo, a partir dos mais variados problemas concretos, como a meteorologia, o escorrimento de um fluido, a propagação da rubéola, até as gotas d’água de uma torneira com vazamento. Logo redescobrem um velho mestre que, depois de fugir dos nazistas, fugiu da França, incompatibilizado com Bourbaki: Benoît Mandelbrot, o inventor dos fractais, antigo aluno de Julia na Polytechnique. E, em Orsay ou na rue d’Ulm,6 surgem outros herdeiros distantes de Poincaré. O ciclo se fecha, mas num nível incrivelmente superior!

O livro de James Gleick, La théorie du chaos [Caos, ed. Campus] reconstrói de modo bem jornalístico essa saga. A tradução francesa da edição revista de 2008 (Champs-Flammarion) proclama na contracapa que “alguns cientistas franceses e americanos começam a explorar o tema nos anos 1970”. Da Rússia, nada de novo. Na realidade o texto cita Poincaré diversas vezes e, de passagem, Lyapunov, Kolmogorov, Sinai… E mesmo uma conversa num barco a remo, em Viena: um soviético, por intermédio de um polonês, explica docemente a um jovem americano que na URSS há muito tempo se vinha trabalhando com esse tema.

Pouco importa. A dialética das instabilidades e das leis do acaso já entrou para a cultura dos happy few. “A evolução é um caos com feedback. Deus joga dados mas os dados são viciados, para que se compreenda o real e se possa tirar proveito dele”, declara Joseph Ford ao jornalista, assim como J. Doyne Farmer: tudo é como as duas faces de uma moeda, de um lado está a ordem com uma aparição do acaso, do outro o acaso, com sua própria ordem subjacente.” Ordem e caos têm agora seus mapas geográficos: os conjuntos e fractais de Julia e Mandelbrot, emergindo do caos de um modo mais belo do que a Grande Ursa na noite setentrional. Impressionantes regularidades universais (válidas para imensas famílias de equações) aparecem, como o Número que parece escandir a passagem dos equilíbrios aos ciclos, daí ao caos, depois a novos equilíbrios, e que parece tão misterioso como número Pi: o número de Feigenbaum, 4,6692016…

Conclusão: os dados, o clima, a covid-19

Mesmo se fosse o Número que não pode ser outro seria o acaso… Mallarmé, não mais que Poincaré, não poderia saber nada do número de Feigenbaum. Teria adivinhado? Seria o poeta um vidente, para usar o termo de um colega que ele não apreciava, Arthur Rimbaud?

Sejamos mais prosaicos. Como mostrei em Ressusciter quand même, o que Mallarmé quis dizer, em Um lance de dados jamais abolirá o acaso, é que apesar disso — apesar do triunfo final do acaso na entropia máxima, ou seja, a vitória do Nada — é preciso ter a coragem de lançar os dados, mesmo se em desespero. Ter a coragem de escrever, de pensar. Pois “todo pensamento emite um lance de dados”. Mas o que é impressionante, nessa última mensagem, é que ele tenha utilizado para sua metáfora um fluxo de informações científicas, lançado por seu amigo Poincaré (mas, afinal, quem influenciou quem?) que, por todo o século seguinte, fará com que a física e a matemática entrem plenamente na “carne” dos fenômenos reais.

Um artigo recente procurou restabelecer a importância de uma jovem cientista da computação que escreveu em 1955 o primeiríssimo “modelo informático” de um fenômeno real a fim de explorar suas possibilidades, e encontrou nele ciclos e descontinuidades inesperadas. Tratava-se de Mary Tsingou, nome que foi ocultado, como acontecia tão frequentemente com as mulheres que se arriscavam à pesquisa. O artigo do físico Thierry Dauxois a seu respeito traz observações muito pertinentes. Um número muito grande de sistemas físicos reais, como acabamos de ver, não está em equilíbrio e segue trajetórias imprevisíveis, o que não impede que essas trajetórias respeitem uma distribuição de probabilidades perfeitamente calculável. Mas fala-se disso tão pouco nas escolas que nossa cultura continuou determinista, exceto junto aos happy few. “Essas ideias são muito pouco ensinadas na nossa formação e muito pouco assimiladas pelos nossos concidadãos, mesmo nas esferas políticas! É importante entender que a previsão da meteorologia para o fim de semana é tarefa notoriamente difícil (justamente porque os modelos são caóticos), mas que mesmo assim isso não impede de prever o clima para daqui a algumas décadas”.

E, com efeito, os céticos do clima se alimentam da constatação de que existem ainda ondas de frio. Do mesmo modo, nossos concidadãos se irritam ao ver a incapacidade da ciência para nos dizer onde, quando e por quê o SARS-CoV-2 apareceu ou reaparecerá, ou por que alguns países com governança sanitária insatisfatória foram poupados. A epidemiologia, aliás, é um caso clássico de teoria do caos: mesmo na Europa devastada pela Peste Negra, cidades como Bruges, Milão, Magdeburgo, e também a região do Béarn, não conheceram a epidemia, enquanto regiões vizinhas perdiam metade de sua população.

Mallarmé teria respondido: “uma tempestade de neve tão violenta a ponto de paralisar a Espanha no inverno de 2020–21 não impedirá jamais que esses anos sejam os mais quentes dos últimos tempos e menos quentes que os próximos anos. Uma cidade poupada ao acaso não impedirá jamais uma pandemia de ditar sua lei sobre o destino do mundo.” É preciso saber ver o acidente… e para isso é preciso pensar. Pois todo pensamento emite um lance de dados.